Граждане стран ЕС (только ВНЖ / ПМЖ недостаточно, нужно именно гражданство) могут свободно приехать жить и работать в Германии. Им для этого никаких виз или разрешений не требуется. Обычно так едут из Италии, Испании, Польши. Аналогично и наоборот: из Германии в другие страны ЕС.
В той стране, где получаете доход, а также в той стране, где живете более полугода (являетесь налоговым резидентом), должны подавать налоговый декларации, платить налог (но в некоторых случаях можно зачесть налог, уплаченный в другой стране) и платить взносы (а вот это обязательно в любом случае).