Как туристы могут приехать в Германию люди, имеющие национальную визу, ВНЖ или ПМЖ другой страны ЕС. Аналогично и наоборот: из Германии в другие страны ЕС.
Срок пребывания ограничен, не более полугода в год. Хотя обычно это не проверяют, потому что границ внутри Шенгена нет.
На долгий срок снять квартиру не получится. Работать нельзя. Для работы или ПМЖ в другой стране надо получать новое разрешение.