Могут свободно приехать жить и работать в Германии, для этого никаких виз или разрешений не требуется. Обычно так едут из Италии, Испании, Польши. Аналогично и наоборот: из Германии в другие страны ЕС.
В той стране, где получаете доход, а также в той стране, где живете более полугода (являетесь налоговым резидентом), должны подавать налоговый декларации, платить налог (но в некоторых случаях можно зачесть налог, уплаченный в другой стране) и платить взносы (а вот это обязательно в любом случае).
Как туристы могут приехать в Германию люди, имеющие национальную визу, ВНЖ или ПМЖ другой страны ЕС. Срок пребывания ограничен, не более полугода в год, хотя обычно это не проверяют, потому что границ внутри Шенгена нет. На долгий срок снять квартиру не получится. Работать нельзя. Для работы или ПМЖ в другой стране надо получать новое разрешение.